康托尔与集合论 | 新书试读《数学悖论与三次数学危机》

来源:搜狐教育 2016-10-12 09:56:00

第12章走向无穷

初中毕业升入高一级学校后,人们会发现自己所学的第一个数学概念都是:集合。研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论。它是数学的一个分支,但在数学中却占有极其独特的地位,其基本概念已渗透到数学的几乎所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦,那么可以说集合论正是构筑这座大厦的基石。集合论的统治地位已成为现代数学的一大特点,由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就,被誉为对20世纪数学发展影响最深的数学家之一。

康托尔与集合论

康托尔于1845年3月3日生于圣彼得堡,但一生中大部分时间是在德国度过的。15岁以前他非凡的数学才能就已得到显现,由于对数学研究有一种着迷的兴趣,他决心成为数学家。但他讲求实际的父亲却非常希望他学工程学,因为工程师是更有前途谋生的职业。1860年,在寄给康托尔的信中他写道:“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔,然后,如果上帝愿意,也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”可怜天下父母心!他们总以自己的意愿为孩子设计未来,却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢?

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值得庆幸的是,康托尔的父亲后来看到自己强加于儿子的意愿所造成的危害,他让步了。17岁的康托尔以优异的成绩完成中学学业时得到父亲的允许,上大学学习数学。激动的康托尔给父亲回信:“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来……现在我很幸福,因为我看到如果我按照自己的感情选择,不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣,亲爱的父亲;从此以后我的灵魂,我整个人,都为我的天职活着;一个人渴望做什么,凡是他的内心强制他去做的,他就会成功!”后来事情的发展表明,数学应当感激这位父亲的明智做法。

1862年,康托尔进入苏黎世大学,1863年转入柏林大学。在此,他曾师从魏尔斯特拉斯与克罗内克。很遗憾,后来克罗内克与康托尔因数学观点的差异而反目成仇。

1867年,康托尔获得博土学位,并开始步入数学研究行列。当时的数学界正进行着重建微积分基础的运动,康托尔也很快将自己的研究转向这一方向。在工作中,他探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端。

1872年,康托尔在瑞士旅游中偶遇数学家戴德金。两人后来成为亲密的朋友,彼此通过信件交流,互相支持。

1874年,29岁的康托尔发表了关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文标志着数学天空中升起了一颗有着非凡独创力的数学新星。

随后的十几年是他最富创造力的一段时间,他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大、最有创见的创造时期,他本来完全可以获得期待已久的德国最高荣誉——取得柏林大学教授职位,然而他的这一抱负却一直没有实现。他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的,这是一所独特的、二流的、薪金微薄的学院。原因在于,他一系列的伟大成果不但未能赢得赞赏,反而招致了猛烈的攻击与反对。他的主要论敌正是柏林大学的克罗内克——他以前的老师。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院,便热烈地致力于他所认为的数学真理,用他能够抓到的一切武器,猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士,那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院,而是康托尔进了疯人院。1884年春,40岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃,在他长寿一生的随后岁月中,这种崩溃以不同的强度反复发生,把他从社会上赶进精神病院这个避难所。1904年,在两个女儿的陪同下,他出席了第三次国际数学家大会。会上,他在精神受到强烈的刺激,立即被送进医院。在他生命的最后十年,他大都处于严重抑郁状态中,并在哈雷大学的精神病诊所度过了漫长的岁月。他最后一次住进精神病院是1917年5月,直到1918年1月去世。

在讲述了主人公悲惨的故事后,下面我们转向他的伟大作品——集合论。

在学习集合的内容时,我们通常是按照从集合概念开始,随后引入属于、包含的定义,以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。

康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中,先是涉及无穷点集,随后一步步地发展出一般集合概念,并把集合论发展成一门独立学科的。这一段历史再次告诉我们,抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。

在上面,我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击,一般读者会对此感到不解。因为我们所学习的有关集合的知识显得非常简单与自然。事实上,那只是集合论中最基本的知识。而“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”,因而只有当我们了解了康托尔在无穷集合的研究中究竟做了些什么后才会真正明白他工作的价值所在,也会明了众多反对之声的由来。

伽利略悖论

数学与无穷有着不解之缘,但研究无穷的道路上却布满了陷阱。在被誉为“无穷交响乐”的微积分的产生、发展历史中,我们已经对此有所领略。下面,我们将跟随康托尔踏上另一条同样充满着令人不解的悖论与困惑的无穷之路。

我们从一个问题开始:全体自然数与全体正偶数,谁包含的数更多?

一方面,我们任取一个自然数,只要让这个数乘以2,就一定有一个与之对应的正偶数,反之也成立。两者之间存在一一对应的关系。这样看来,似乎两者的元素个数应是相同的。另一方面,常识告诉我们:全体大于部分。既然所有的正偶数是在所有的自然数里去掉那些正奇数以后才得到的,理所当然的,作为全体的自然数要多于作为部分的正偶数。那么,究竟两者一样多呢,还是自然数多?

在历史上,人们曾多次被这类问题所困扰。公元5世纪,拜占庭的普罗克拉斯是欧几里得《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时注意到,一根直径分圆成两部分,两根直径分圆成4部分,n根直径分圆成2n部分。因此,由直径数目组成的无限集合与所分成的圆部分的数目组成的无限集合在元素上存在着一一对应的关系。但另一方面,从常识看,两者的数目看起来并不一样。普罗克拉斯的困境正是我们上面所提到的自然数全体与正偶数全体谁多的问题。

中世纪,又有人注意到,把两个同心圆上的点用公共半径联接起来,就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。因为对于大圆上的任意一点,通过公共半径,总可找到小圆上的一点与它对应;反之,对于小圆上的任何一点,通过公共半径,总可找到大圆上的一点与它对应。这样分析,大小圆上的点应一样多。然而,常识会让人认为大小两圆上的点不可能是一样多的。

更为人所熟知的是伽利略提到的类似事实。在1636年完成的著名著作《两门新科学的对话》一书中,伽利略注意到:所有自然数与自然数的平方可以建立一个一一对应关系。这似乎意味着:平方数与自然数一样多。然而,常识却告诉我们:自然数比平方数要多许多。这一矛盾通常称为“伽利略悖论”。

为了避免这类悖论的出现,人们采取了回避的态度。如伽利略在无法解释自己的发现后得出的结论是:因此我们不能说自然数构成一个集合。也就是说,他的解决方案是:否认“自然数全体”这类说法,即否认实无限的存在。因为承认会导致不合常识的悖论。确实,通过前面的许多介绍,我们对人类在解决问题中经常会使用的这种方法不再陌生。当人们面对无法解决的问题时,一种类似条件反射的解决方案就是:回避它。只有在完全无法回避的时候,才有人能够突破旧的观念,提出解决问题的新方案。

在伽利略提出他的悖论两个多世纪以后,康托尔重新考虑了这个似乎陷入逻辑死胡同的二难推理问题。事实上,问题的焦点集中在:整体一定大于部分。对实无限的肯定被这一观念的巨石挡住了。怎么办?难道我们不能反其道而行之吗?只要我们接受“部分能够等于整体”的观点,不就解决问题了吗?如果接受了这一新观念,那么实无限的观念也就扫清了障碍。看上去,似乎解决问题之道也并不难。真得不难吗?只要想想历史上人类为了迈出这一步,花费了多长时间就会明白,要更新一个旧观念是何等困难的事情。

“可以通过一一对应的方法来比较两个集合的元素多少;实无限是一个确实的概念。”

康托尔依据这两个基本前提,以一种貌似天真的方法,颠覆了前人传统的观念,创立了最令人兴奋和意义十分深远的理论。这一理论引领我们进入了一个难以捉摸的奇特世界。

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